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Gruppen

Thu, 08 Apr 2010 12:43:51 +0200

Gestern war wieder Mathe-Vorlesung. Nach dem Rechnen im Kreis (so wie z.B. im Computer) war diesmal ergänzend die Definition einer Gruppe dran. Eine Gruppe ist dabei ein Verknüpfungsgebilde, das ein paar zusätzliche Bedingungen erfüllt. Und was ist ein Verknüpfungsgebilde? Naja, das ist ein Paar, bestehend aus einer Menge 𝕄 und einer darauf anzuwendenden Verknüpfung * (* kann z.B. eine Addition oder eine Multiplikation sein, oder auch was Anderes). Eine Verknüfpungsgebilde entsteht dann, wenn diese Verknüpfung eine sogenannte innere Verknüpfung ist, d.h. jede Anwendung dieser Verknüpfung auf beliebige Elemente der Menge 𝕄 ergibt wieder ein Element aus 𝕄. Sobald das Ergebnis einer solchen Verknüpfung ein Element sein kann, das nicht mehr in 𝕄 liegt, ist das kein Verknüpfungsgebilde mehr. Beispiel:

(ℕ, +) (Also die natürlichen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung) sind ein VG. Weil, egal, was ich addiere, das Ergebnis ist immer eine natürliche Zahl.
(ℕ, -) ist kein Verknüpfungsgebilde, da bei einer Subtraktion zweier natürlicher Zahlen negative Zahlen bei raus kommen können. Diese liegen nicht mehr in ℕ.

Die zusätzlichen Bedingungen, die eine Gruppe erfüllen muss, sind:

  • Assoziativ

    a,b,c ∈ 𝕄 (a*b)*c = a*(b*c)

  • Neutrales Element

    a ∈ 𝕄 ∃e∈𝕄 a*e = a.

  • Inverses Element

    a ∈ 𝕄 ∃a-1 a*a-1 = e.

Und für kommutative Gruppen gilt zusätzlich das Kommutativgesetz ∀a,b ∈ 𝕄 a*b = b*a.

Die Menge der rationalen Zahlen ℚ mit der Multiplikation ist keine Gruppe. Die Null macht Alles kaputt. Aber die Menge der rationalen Zahlen ohne die Null mit der Multiplikation (ℚ \ {0}, ×) ist eine. Also habe ich mich gefragt, was ist mit dem Rest? Was ist mit der Null? Immerhin habe ich in keiner Regel eine Vorschrift gefunden, die Etwas über die Mindestanzahl der Elemente in der Menge aussagt. Also nehme ich mal die Menge 𝕄 = {0} mit der Multiplikation und schaue, ob das eine Gruppe ist:

  • Das Assoziativgesetz gilt, denn (0×0)×0 = 0×(0×0).
  • Ein neutrales Element gibt es auch, und es liegt auch in dieser Menge: Die Null.
  • Das inverse Element ist ebenfalls die Null, denn: ∀a ∈ 𝕄 ∃a-1 a×a-1 = e. Für a=0 und e=0 (das einzige Element in dieser Menge) stimmt das.
  • Und kommutativ ist das auch noch: 0×0 = 0×0. Offensichtlich.

Für die Menge {1} gilt das übrigens auch. Das VG ({1}, ×) ist ebenfalls eine kommutative Gruppe. Die Vereinigung der beiden Mengen ist aber keine Gruppe.

Danach habe ich in zwei Richtungen weiter überlegt. Die eine Richtung: Ich habe von dem Wenigen, was ich hier noch habe, noch das einzige Element weggenommen und erhalte damit die leere Menge ∅. Ist die leere Menge auch eine Gruppe? Ja, ist sie. Sie ist sogar eine kommutative Gruppe, obwohl es natürlich etwas witzig ist, "Nichts" zu vertauschen. Aber das ist das Schöne am Allquantor ∀. Ich kann jederzeit schreiben: ∀a∈∅ a ist weiss-rosa gesprenkelt. Und diese Aussage ist wahr. Oder ich kann jede andere Behauptung aufstellen, und sie ist wahr. Und da die Voraussetzungen für eine Gruppe alle mit dem Allquantor beginnen, ist die leere Menge auf jeden Fall auch eine Gruppe. Und das gilt nicht nur für die Multiplikation als Verknüpfung, sondern auch für die Addition. Und für jede denkbare sonstige Verknüpfung.

Danach habe ich meine Gedanken in die andere Richtung bewegt. Wenn ({0}, ×) und ({1}, ×) Gruppen sind, wie sieht es z.B. aus mit ({0}, +) oder ({1}, +)? Sind auch Gruppen. Hier greift das Rechnen im Kreis. Ich habe sozusagen eine Einer-Uhr. Bei jedem Schritt auf der Uhr nach links wie nach rechts komme ich wieder zum einzigen Element zurück. Dieses einzige Element ist also erstens ein sogenanntes erzeugendes Element (fortlaufende Anwendung der Verknüpfung auf dieses Element ergibt die gesamte Menge), es ist das neutrale Element (Anwendung der Verknüpfung dieses Elements mit dem neutralen Element, ebenfalls dieses Element, ergibt wieder dieses Element) und das inverse Element. Und kommutativ ist das auch noch. Also scheint jede ein-elementige Menge mit jeder Verknüpfung eine kommutative Gruppe zu sein. Sowas ist schön.

Wie sieht es mit Mengen aus, die mehr als 1 Element beinhalten? Wir haben in der Vorlesung öfter als Beispiel endliche Teilmengen der ganzen Zahlen herangezogen. In diesen Beispielen waren die Mengen immer so aufgebaut: {0, 1, 2, … , (n-1)}. Man nennt diese Mengen auch ℤn. Mit der Addition ergeben sich daraus kommutative Gruppen (hier wird im Kreis gerechnet). Also habe ich mich gefragt, wie es wohl mit anderen Ausschnitten von ℤ aussieht. Im Computer haben wir ja auch mit negativen Zahlen zu tun. So könnte eine solche Menge beispielsweise so aussehen: 𝕄 = {-2, -1, 0, 1 }. Bei Binärzahlen mit 2 Bits inklusive Vorzeichen wären das alle darstellbaren ganzen Zahlen. Und auch das ist eine Gruppe.

Geht es noch seltsamer? Es geht. Wie wäre es mit folgender Menge: 𝕄 = {0, 2, 4, 6, 8}? Und auch das ist mit der Addition eine Gruppe. Was haben diese Mengen gemeinsam? Nun, sie enthalten a) das neutrale Element, die Null. Und b) enthalten sie mindestens ein sogenanntes erzeugendes Element. Also, als Kochrezept formuliert, ich nehme die Null und eine beliebige andere Zahl und füge dieser Menge eine endliche Menge an Vielfachen dieser Zahl hinzu. Die resultierende Menge ergibt mit der Addition eine Gruppe.

Mit der Multiplikation sieht das nicht so lustig aus. Insbesondere kann ich mir momentan nicht vorstellen, wie ein erzeugendes Element aussehen sollte. Aber davon bekomme ich jetzt eine Menge Kopfschmerzen und wende darauf die Verknüpfung mit der "speichern" Taste an. Und das ist keine Gruppe


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